Coordenadas polares

Es un sistema, en el cual cada punto o posición en el plano coordenado, está dado por medio de un ángulo y una distancia.

¿Para qué sirven las coordenadas polares?

En el cálculo de varias variables, así como en el cálculo integral, sirven para facilitan la realización de una integral; ya sea para realizar el cálculo de un volumen, de un momento de inercia, de un centroide, de algún área, o simplemente una integral (simple, doble o triple) indefinida.

¿Cuándo debo trabajar con coordenadas polares?

Geométricamente, cuando la región a calcular es de forma circular, esférica, cilíndrica, cónica, hiperbólica, parabólica, elíptica.

fuente de imagen: http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Conic_sections_2n.png

¿Cómo transformar coordenadas cartesianas a coordenadas polares?

Recordemos trigonometría básica:

Imaginemos un punto en el plano cartesiano con coordenadas (x,y), y una distancia “r”, medida desde el origen hasta dicho punto (x,y) en el plano. (r puede ser interpretado como el vector posición de x,y).

Si formásemos un triángulo rectángulo, tomando como hipotenusa la distancia r; midiendo el ángulo O desde el eje de las “x” en el primer cuadrante, midiendo ángulos positivos en sentido anti horario, y aplicando trigonometría básica, obtendríamos las siguientes relaciones geométricas:

Observamos que para transformar coordenadas cartesianas a coordenadas polares, sólo tenemos que substituir el valor de “x” por x= r*cos(O), y “y” por y=r*sen(O).

Recordemos que “r” puede expresarse como el vector posición del punto (x,y), el cual tiene como componentes a: xi+yj. Para conocer la magnitud de "r" (el vector posición), es decir, el valor del escalar (en este caso, la distancia), utilizamos el teorema de Pitágoras:

Así, obtenemos las tres expresiones que nos sirven para transformar coordenadas cartesianas a coordenadas polares

Finalmente, nos apoyaremos de dos expresiones trigonométricas para el cálculo del ángulo: