Integral doble

CASO 2D

Imaginemos una región acotada por una función y=f(x), y deseamos encontrar el área debajo de la curva.

Para esto, vamos a hacerlo por medio de un área que de antemano conocemos, en este caso será un cuadrado, de dimensiones dx & dy, y cuya área es A=dxdy.

Dicho cuadrado será “arrastrado” por toda el área que está debajo de la función, es decir, vamos a sumar áreas de cuadrados en el eje “x” y en el eje “y”.

Esto lo haremos con una integral doble:



(dxdy es conocido en la literatura como “diferencial de área”, y puede ser representado como dA).


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¿Por qué hay un “1” dentro de la integral?

Porque para calcular el área de una función por medio de una integral doble, la función “z” a integrar debe tener el valor de uno.

¿Por qué?

Recordemos nuestro conocimiento de primaria, en este caso, la fórmula de un cuadrado, dicha fórmula es A=bh, donde “b” es la base y “h” es la altura, y b=h.

Ahora recordemos el área de un triangulo rectángulo, A= bh/2.

Si asignamos unidades de longitud a “b” y a “h”, digamos: Pulgadas, Milímetros, Centímetros, Metros, etc. Obtendremos siempre dicha longitud, pero elevada al cuadrado, ya que estamos multiplicando longitud por longitud, y una longitud elevada al cuadrado corresponde un área.

Regresando a la integral doble, si imaginamos que “dx” está dada en milímetros, al igual que “dy”; y como en la integral se está multiplicando por una constante, en este caso “1”, las unidades resultantes serán milímetros cuadrados, que corresponden al área, porque la constante es adimensional.
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¿Cómo resolver una integral doble?

Una integral puede resolverse de dos maneras, esto gracias al teorema de Fubini.
Dicho teorema demuestra que una integral doble puede resolverse de las siguientes dos maneras:


En donde A y B son intervalos en el plano cartesiano. (Dichos intervalos forman una región rectangular).

Así, se resuelve primero la integral que está entre paréntesis, se evalúa con sus límites de integración correspondientes (Los límites de integración deben estar despejados dependiendo de la variable en la que se estén integrando, es decir, si se está integrando en “y”, los limites deben tener la forma f(x), si se está integrando en “x”, los límites deben tener forma f(y).), y posteriormente se resuelve la integral faltante.

Geométricamente tenemos dos casos:

El primero de ellos (CASO 1) es cuando integramos a “y” primero; Si integramos a “y”, “x” queda constante.

El segundo de ellos (CASO 2) es cuando integramos a “x” primero; Si integramos a “x”, “y” queda constante.

¿Pero qué significa “x” o “y” constantes?

Geométricamente, indican rectas verticales u horizontales, según sea el caso:


CASO 1:



CASO 2:

Este razonamiento nos sirve para facilitarnos la vida al realizar una integral doble, ya que el resolver la integral por una forma u otra puede parecer igual, pero en algunos casos no es así, ya que pueden presentarse casos en los que comenzar la integral en una variable o en la otra, marca una gran diferencia en la facilidad o dificultad de resolverla.

Además, dicho razonamiento nos ayuda a encontrar los límites de integración de nuestra Integral.

Para la variable que se está integrando primero:

Límite inferior: El punto más bajo donde la recta horizontal o vertical (según sea el caso) atraviesa a la región a calcular el área.
Límite superior: El punto alto donde la recta atraviesa a la función.

Cuando la variable es “constante”, los límites de integración están dados por:

Límite inferior: El valor numérico más alejado a la izquierda, o más abajo (según sea el caso) en dicho eje (según sea el caso).
Límite superior: El valor numérico más alejado a la derecha, o más alto (según sea el caso) en dicho eje.

Para ilustrar lo dicho con anterioridad, definamos la integral de la figura, con función y=f(x), integrando primero a la variable “y”.

Vemos que la recta vertical “atraviesa” por debajo al eje de las “x”, por lo tanto, el límite inferior será 0. (geométricamente, atraviesa a la recta horizontal y=0).
La recta atraviesa a la función y=f(x) en el punto alto, así que el límite superior estará dado por la función y=f(x).

Ahora los límites de integración para la variable que queda constante, es decir, la variable “x”.
Observamos que el punto más alejado a la izquierda de la región a calcular es 0, por lo tanto el límite inferior será 0 (correspondiente a la recta vertical x=0).
De igual forma, el punto más alejado a la derecha es “a”, por lo tanto, el límite superior será “a” (que corresponde a la recta vertical x=a).

La integral doble queda de la siguiente manera:


Si quisiéramos integrar con el otro orden, fácil es ver que si integramos en “x”, la integral debe partirse en diferentes regiones, ya que la recta horizontal corta en más de un punto a la función, así que el orden de complejidad aumenta.

Coordenadas polares

Es un sistema, en el cual cada punto o posición en el plano coordenado, está dado por medio de un ángulo y una distancia.

¿Para qué sirven las coordenadas polares?

En el cálculo de varias variables, así como en el cálculo integral, sirven para facilitan la realización de una integral; ya sea para realizar el cálculo de un volumen, de un momento de inercia, de un centroide, de algún área, o simplemente una integral (simple, doble o triple) indefinida.

¿Cuándo debo trabajar con coordenadas polares?

Geométricamente, cuando la región a calcular es de forma circular, esférica, cilíndrica, cónica, hiperbólica, parabólica, elíptica.

fuente de imagen: http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Conic_sections_2n.png

¿Cómo transformar coordenadas cartesianas a coordenadas polares?

Recordemos trigonometría básica:

Imaginemos un punto en el plano cartesiano con coordenadas (x,y), y una distancia “r”, medida desde el origen hasta dicho punto (x,y) en el plano. (r puede ser interpretado como el vector posición de x,y).

Si formásemos un triángulo rectángulo, tomando como hipotenusa la distancia r; midiendo el ángulo O desde el eje de las “x” en el primer cuadrante, midiendo ángulos positivos en sentido anti horario, y aplicando trigonometría básica, obtendríamos las siguientes relaciones geométricas:

Observamos que para transformar coordenadas cartesianas a coordenadas polares, sólo tenemos que substituir el valor de “x” por x= r*cos(O), y “y” por y=r*sen(O).

Recordemos que “r” puede expresarse como el vector posición del punto (x,y), el cual tiene como componentes a: xi+yj. Para conocer la magnitud de "r" (el vector posición), es decir, el valor del escalar (en este caso, la distancia), utilizamos el teorema de Pitágoras:

Así, obtenemos las tres expresiones que nos sirven para transformar coordenadas cartesianas a coordenadas polares

Finalmente, nos apoyaremos de dos expresiones trigonométricas para el cálculo del ángulo: