Integral doble

CASO 2D

Imaginemos una región acotada por una función y=f(x), y deseamos encontrar el área debajo de la curva.

Para esto, vamos a hacerlo por medio de un área que de antemano conocemos, en este caso será un cuadrado, de dimensiones dx & dy, y cuya área es A=dxdy.

Dicho cuadrado será “arrastrado” por toda el área que está debajo de la función, es decir, vamos a sumar áreas de cuadrados en el eje “x” y en el eje “y”.

Esto lo haremos con una integral doble:



(dxdy es conocido en la literatura como “diferencial de área”, y puede ser representado como dA).


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¿Por qué hay un “1” dentro de la integral?

Porque para calcular el área de una función por medio de una integral doble, la función “z” a integrar debe tener el valor de uno.

¿Por qué?

Recordemos nuestro conocimiento de primaria, en este caso, la fórmula de un cuadrado, dicha fórmula es A=bh, donde “b” es la base y “h” es la altura, y b=h.

Ahora recordemos el área de un triangulo rectángulo, A= bh/2.

Si asignamos unidades de longitud a “b” y a “h”, digamos: Pulgadas, Milímetros, Centímetros, Metros, etc. Obtendremos siempre dicha longitud, pero elevada al cuadrado, ya que estamos multiplicando longitud por longitud, y una longitud elevada al cuadrado corresponde un área.

Regresando a la integral doble, si imaginamos que “dx” está dada en milímetros, al igual que “dy”; y como en la integral se está multiplicando por una constante, en este caso “1”, las unidades resultantes serán milímetros cuadrados, que corresponden al área, porque la constante es adimensional.
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¿Cómo resolver una integral doble?

Una integral puede resolverse de dos maneras, esto gracias al teorema de Fubini.
Dicho teorema demuestra que una integral doble puede resolverse de las siguientes dos maneras:


En donde A y B son intervalos en el plano cartesiano. (Dichos intervalos forman una región rectangular).

Así, se resuelve primero la integral que está entre paréntesis, se evalúa con sus límites de integración correspondientes (Los límites de integración deben estar despejados dependiendo de la variable en la que se estén integrando, es decir, si se está integrando en “y”, los limites deben tener la forma f(x), si se está integrando en “x”, los límites deben tener forma f(y).), y posteriormente se resuelve la integral faltante.

Geométricamente tenemos dos casos:

El primero de ellos (CASO 1) es cuando integramos a “y” primero; Si integramos a “y”, “x” queda constante.

El segundo de ellos (CASO 2) es cuando integramos a “x” primero; Si integramos a “x”, “y” queda constante.

¿Pero qué significa “x” o “y” constantes?

Geométricamente, indican rectas verticales u horizontales, según sea el caso:


CASO 1:



CASO 2:

Este razonamiento nos sirve para facilitarnos la vida al realizar una integral doble, ya que el resolver la integral por una forma u otra puede parecer igual, pero en algunos casos no es así, ya que pueden presentarse casos en los que comenzar la integral en una variable o en la otra, marca una gran diferencia en la facilidad o dificultad de resolverla.

Además, dicho razonamiento nos ayuda a encontrar los límites de integración de nuestra Integral.

Para la variable que se está integrando primero:

Límite inferior: El punto más bajo donde la recta horizontal o vertical (según sea el caso) atraviesa a la región a calcular el área.
Límite superior: El punto alto donde la recta atraviesa a la función.

Cuando la variable es “constante”, los límites de integración están dados por:

Límite inferior: El valor numérico más alejado a la izquierda, o más abajo (según sea el caso) en dicho eje (según sea el caso).
Límite superior: El valor numérico más alejado a la derecha, o más alto (según sea el caso) en dicho eje.

Para ilustrar lo dicho con anterioridad, definamos la integral de la figura, con función y=f(x), integrando primero a la variable “y”.

Vemos que la recta vertical “atraviesa” por debajo al eje de las “x”, por lo tanto, el límite inferior será 0. (geométricamente, atraviesa a la recta horizontal y=0).
La recta atraviesa a la función y=f(x) en el punto alto, así que el límite superior estará dado por la función y=f(x).

Ahora los límites de integración para la variable que queda constante, es decir, la variable “x”.
Observamos que el punto más alejado a la izquierda de la región a calcular es 0, por lo tanto el límite inferior será 0 (correspondiente a la recta vertical x=0).
De igual forma, el punto más alejado a la derecha es “a”, por lo tanto, el límite superior será “a” (que corresponde a la recta vertical x=a).

La integral doble queda de la siguiente manera:


Si quisiéramos integrar con el otro orden, fácil es ver que si integramos en “x”, la integral debe partirse en diferentes regiones, ya que la recta horizontal corta en más de un punto a la función, así que el orden de complejidad aumenta.

Coordenadas polares

Es un sistema, en el cual cada punto o posición en el plano coordenado, está dado por medio de un ángulo y una distancia.

¿Para qué sirven las coordenadas polares?

En el cálculo de varias variables, así como en el cálculo integral, sirven para facilitan la realización de una integral; ya sea para realizar el cálculo de un volumen, de un momento de inercia, de un centroide, de algún área, o simplemente una integral (simple, doble o triple) indefinida.

¿Cuándo debo trabajar con coordenadas polares?

Geométricamente, cuando la región a calcular es de forma circular, esférica, cilíndrica, cónica, hiperbólica, parabólica, elíptica.

fuente de imagen: http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Conic_sections_2n.png

¿Cómo transformar coordenadas cartesianas a coordenadas polares?

Recordemos trigonometría básica:

Imaginemos un punto en el plano cartesiano con coordenadas (x,y), y una distancia “r”, medida desde el origen hasta dicho punto (x,y) en el plano. (r puede ser interpretado como el vector posición de x,y).

Si formásemos un triángulo rectángulo, tomando como hipotenusa la distancia r; midiendo el ángulo O desde el eje de las “x” en el primer cuadrante, midiendo ángulos positivos en sentido anti horario, y aplicando trigonometría básica, obtendríamos las siguientes relaciones geométricas:

Observamos que para transformar coordenadas cartesianas a coordenadas polares, sólo tenemos que substituir el valor de “x” por x= r*cos(O), y “y” por y=r*sen(O).

Recordemos que “r” puede expresarse como el vector posición del punto (x,y), el cual tiene como componentes a: xi+yj. Para conocer la magnitud de "r" (el vector posición), es decir, el valor del escalar (en este caso, la distancia), utilizamos el teorema de Pitágoras:

Así, obtenemos las tres expresiones que nos sirven para transformar coordenadas cartesianas a coordenadas polares

Finalmente, nos apoyaremos de dos expresiones trigonométricas para el cálculo del ángulo:

Las Matemáticas en la vida cotidiana

Estas imágenes formaron parte de diferentes capítulos de la Serie "The Simpson's", en ellas, se muestra la importancia de las matemáticas y su uso en la vida diaria.
Aunque en esta serie televisiva no se le da la importancia que debería, es curioso cómo hasta en un programa tan común, las matemáticas están presentes.

Distribución Binomial

1) Es la distribución de variable Aleatoria Discreta más utilizada.

2) Variable Aleatoria: Obtenemos una variable aleatoria si a cada suceso elemental de un experimento aleatorio le asociamos un único valor numérico.

3) Distribución de variable Discreta: Si los posibles valores de la Variable Aleatoria son sólo números enteros, decimos que se trata de una Variable Aleatoria Discreta.

4) La Distribución Binomial está asociada con fenómenos aleatorios con dos únicos resultados posibles.


Ejemplos:

a) ¿Águila o Sol?
b) ¿Falla o no falla?
c) ¿Gana o pierde?
d) ¿Funciona o no funciona?

Propiedades de la distribución Binomial:

a) Se realizan “n” ensayos o repeticiones, cada uno con dos únicas posibilidades, éxito o fracaso (E o F).

b) Probabilidad de Éxito: P(E) = p

c) Probabilidad de Fracaso: P(F) = q = 1 - p

d) X: Variable Aleatoria Binomial que da el número de éxitos en “n” ensayos Bernoulli. (x>=0)


Fórmula para cálculo de una distribución binomial.

Ejemplo

I Cálculo de valores de probabilidad:

Se ha observado que en un grupo de Comunicación para las ingenierías hay 40 alumnos en promedio, de los cuales, 35 aprueban la materia y 5 reprueban.

Probabilidad de Aprobar: Aprobar = 35/40 = 0.875
Probabilidad de Reprobar: Reprobar = 1-Aprobar = 1 – 0.875 = 5/40 = 0.125


II Cálculo de probabilidades con Distribución binomial:

La probabilidad de que un alumno repruebe el curso de Comunicación para las Ingenierías es de 0.125, ¿Cuál es la probabilidad de que de un grupo de 40 personas, 5 personas reprueben el curso?

Datos:

n = 40
k = 5
p = 0.125
q = 0.875


Desarrollo:

Criba de Eratóstenes

¿Cómo conocer los números primos?

Paso 1.- Se escriben los números del 1 al 100 en 6 columnas.

Paso 2.- Se tachan las columnas del 2 (Sin incluir el número 2), 4 y 6, por ser pares.

Paso 3.- Se tachan las columnas de 3 (Sin incluir el número 3), ya que en dicha columna se encuentran los múltiplos de 3.

Paso 4.- Con las Rectas a, b, c & d, se tachan los múltiplos del 5.

Paso 5.- Los múltiplos de 7 se tachan con las rectas i, ii y iii.

Los números sobrantes (sin tachar), son los números Primos.

Definición de Criba: Montaje que consta de un marco de soporte que lleva una o más mallas o láminas perforadas, sirve para separar diferentes tamaños de materiales.

Fórmula de Herón

Ángulos de Elevación y Ángulos de Depresión

Son aquellos formados por la horizontal, la cual se considera a nivel del ojo del observador y la linea de mira, dependiendo de si el objeto observado está sobre o bajo dicha linea de mira.

Ejemplificación:

Ángulo de Elevación: Cuando tenemos que alzar la cabeza para observar algun objeto.

Ángulo de Depresión: Cuando tenemos que inclinar la cabeza para observar algun objeto.

Tipos de Ángulos, Clasificación por Medidas.

Altura en Triángulos y Ortocentro

¿Qué es la altura en un triángulo?

Es la perpendicular trazada desde un vértice del triángulo al lado opuesto o a su prolongación.
Hay tres alturas, una correspondiente a cada lado. Se designan con la letra que indica el lado: ha, hb, hc. (h por convención significa altura)

¿Qué es el ortocentro?

El punto de concurrencia de las tres alturas se llama ortocentro, el punto O.

Fórmula del amor, 2 = 1

0.9999999... = 1

Teorema de Cosenos

Suma n-cubos

Diferencia Trigonométrica

Método de Estrategia de Transición

¿Qué es el Modelo de Estrategia de Transición?

Es un modelo de enseñanza que se basa en el desarrollo ordenado y secuencial de información de un tema hacia otro, el cual permite un progreso sistemático de conocimiento. Este modelo se deriva del punto de vista constructivista de aprendizaje; que dice que el conocimiento es adquirido a través de la interacción de la experiencia del alumno y el conocimiento existente.

¿Cuál es el objetivo de este modelo de enseñanza?

El objetivo de este modelo es reducir las barreras que actualmente existen entre los diferentes niveles de conocimiento, y hacer que los estudiantes con poca preparación académica entiendan y aprecien la ciencia.




¿Cómo funciona?

La clave de esta estrategia es reducir las barreras comunes que actualmente existen para permitir el enfoque de los estudiantes en el desarrollo de la lógica científica, y a su vez, crear métodos para ganar confianza y entendimiento de conceptos científicos; ya que estos estudiantes son incapaces de extrapolar ideas desde representaciones científicas, y frecuentemente, tienden a confundir conceptos relacionados con la ciencia.





¿Qué utilidad tiene este método de enseñanza?

El modelo de enseñanza transicional intenta reunir conceptos dentro de un desarrollo de información ordenado y secuencial que se lleve a cabo de un tema a otro, permitiendo una progresión sistemática de conocimiento en una manera lineal y progresiva.
Esto permitirá a los estudiantes construir conocimiento de forma progresiva y sistemática con información relacionada, ayudando a relacionar los conceptos científicos a experiencias comunes.



¿Cuáles son las características observadas en los alumnos que han influido directamente en la actuación académica?


-Falta general de conocimiento básico en los conceptos científicos fundamentales y además, inhabilidad para tratar con conceptos abstractos de la ciencia.

-Deficiencias en habilidades verbales, y como consecuencia, inhabilidad de entender propiamente las generalizaciones y conceptos abstractos de la ciencia.

-Debilidad al hacer transiciones a lo largo de conceptos relacionados, generalmente siendo incapaces de extrapolar ideas o conceptos aprendidos, y a su vez, hacer conexiones entre conceptos relacionados.

-Inhabilidad de razonar por medio de analogías, o de relacionar conceptos teóricos con experiencias reales, las cuales, generalmente resultan en perdida de interés por la ciencia y las matemáticas.




¿Cuáles son las claves y requerimientos para la completa aplicación de este modelo?


-Desarrollar cada tema como una transición lineal que vaya de "simple a complejo", con el mismo tema cuando sea posible, en vez del frecuentemente convencional enfoque por capítulos.

-Trabajar en el vocabulario del estudiante y su desarrollo lingüístico, enseñando el lenguaje de instrucción para mejorar el desarrollo en la lingüística del estudiante.

-Permitir cierta lentitud en el proceso de desarrollo-aprendizaje, porque la construcción del conocimiento toma lugar en diferentes rangos y diferentes secuencias, dependiendo de las habilidades de los estudiantes.

-Reconocer la inteligencia como una estructura de proceso de pensamiento organizado y coherente, no como una colección de habilidades.




Un buen plan de lección transicional debe ser como una buena historia, la cual continúa su transición de un tema a otro a lo largo de un tema central.




Por lo tanto, en una estrategia transicional de enfoque institucional, cada tema de discusión debe soportar algunas relaciones de temas subsecuentes, y deberán ser unidos apropiada y cuidadosamente, con un mínimo de barreras. Tal enfoque minimizará la fragmentación innecesaria, y por lo tanto, ilustrará conceptos básicos subsecuentes dados a aquellos estudiantes que no están equipados para realizar dichas conexiones.

Bibliografía

Godwin E. Mbamalu. (2001), Teaching Science to Academically Underprepared Students, Journal of Science Education and Technology, Vol. 10, No. 3: 269 - 270

Teoría Constructivista

¿Qué es?

Es la teoría de enseñanza más común en el mundo, y la más utilizada; llamada "Teoría constructivista del aprendizaje".

¿Cómo funciona?

Dicha teoría enfatiza que el conocimiento es obtenido a través de la auto-organización de información a través de la interacción de las experiencias del alumno y su conocimiento existente. Los estudiantes usan estos aspectos para construir nueva información conforme la perciben; y en efecto, el que aprende evalúa la nueva información basada en el conocimiento que previamente posee. (McBay, 1989).

Algunas de las más recientes reformas en la educación de la ciencia están basadas en el constructivismo, en donde los estudiantes aprenden construyendo nuevo conocimiento a partir de ideas existentes. (Fosnot, 1996).

¿Ha sido útil esta teoría de enseñanza?

El Constructivismo puede ser usado para explicar por qué muchos estudiantes el día de hoy, particularmente los estudiantes con poca preparación académica; desarrollan ideas equivocadas y tienen poco aprovechamiento y desempeño en las ciencias e ingenierías.




¿Por qué no es tan útil en la mayoría de los casos?

Porque a causa de la pobre formación educacional obtenida en las primarias, secundarias y preparatorias, muchos estudiantes son incapaces de relacionar conceptos ante cualquier experiencia, y son por lo tanto, incapaces de pensar críticamente.
Estas ideas equivocadas surgen cuando el conocimiento existente en el alumno no es suficiente para el entendimiento correcto en los temas de instrucción o enseñanza. Generalmente, cuando la nueva información no puede ser procesada propiamente con el conocimiento existente en el alumno, esta es modificada o rechazada.
Además, los estudiantes con formación básica educativa insuficiente dentro de las ciencias, encuentran las leyes generales y las relaciones con la ciencia muy difíciles para ellos. Estas dificultades frecuentemente se traducen en frustración, reducción de interés y abandonamiento de la carrera.

¿Qué otro método está relacionado con la teoría constructivista?

El método de investigación; que por sí mismo es también insuficiente para estudiantes incapaces de realizar una investigación, sin tener previamente el conocimiento de cómo hacerlo.

¿Por qué resulta tan difícil utilizar estos métodos?

Porque aprender a través de la experiencia resulta ser algo muy lento para estudiantes con debilidad académica en conceptos referentes a la ciencia fundamental. En ausencia del conocimiento básico fundamental para aprender nuevas cosas, los alumnos son incapaces de procesar y agregar nueva información.



¿Qué se puede hacer para evitar estos inconvenientes en la enseñanza de las ciencias?

Utilizar nuevas teorías de enseñanza, capaces de evitar estos conflictos y dificultades que surgen ante la mayor parte de los estudiantes a nivel primaria, secundaria, preparatoria y universidad.
Un método útil y que ha dado resultados en diferentes partes del mundo, es “El Modelo de Estrategia de Transición”.





Bibliografía

Godwin E. Mbamalu. (2001), Teaching Science to Academically Underprepared Students, Journal of Science Education and Technology, Vol. 10, No. 3: 267 -269

Mente y Música

El Efecto Mozart fue descubierto por Gordon Shaw; Quien dirigió un número de estudios que establecieron la conexión entre la participación activa de la música en el desarrollo del cerebro, la habilidad matemática, e implicaciones en el razonamiento espacial-temporal.

Gordon Shaw se interesó en la teoría cerebral, y comenzó a investigar sobre la capacidad cerebral para el razonamiento espacial y su uso en diferentes actividades; tales como la resolución de problemas matemáticos y juegos de ajedrez.

Con la ayuda del estudiante universitario Xiaodan Leng; Diseñaron un modelo computarizado del cerebro. Este modelo computarizado se basó en usar notas musicales para representar diferentes áreas de actividad cerebral, y se sorprendieron al encontrar que el sonido completo de estas notas, era parecido a la estructura de la música clásica.



Así, Gordon Shaw decidió estudiar los resultados de la música clásica en el cerebro, con estudiantes de 3 años de edad, y posteriormente con estudiantes universitarios. En 1993 ganó la atención nacional, cuando reportó que un grupo de estudiantes universitarios Incrementaron 9 puntos en la escala de Coeficiente Intelectual tras escuchar la "Sonata para 2 pianos en Re mayor" de Wolfgang Amadeus Mozart.



Gracias a ese experimento, Gordon Shaw especuló que escuchar música clásica, En especial la música de Mozart; proporciona un “ejercicio de calentamiento y estimulación” para las diferentes partes del cerebro que participan y actúan en los altos niveles de pensamiento abstracto.


Un estudio posterior, llevado a cabo en conjunto con el Psicólogo Frances Rauscher de la Universidad de Wisconsin, mostró que estudiantes de pre escolar, a quienes les fueron impartidas clases de piano una vez por semana, obtuvieron un puntaje extra de 34% en los resultados de exámenes diseñados para medir las habilidades de razonamiento espacial-temporal; y los resultados indicaron que estos estudiantes tendrían mayor capacidad para dedicarse al estudio de matemáticas, ciencias e ingenierías; a comparación de los que no tomaron dichas clases.



Gordon Shaw reconoció que la música es una ventana hacia una función cerebral más elevada.



Bibliografía

Jodi Burack. (2005), Uniting Mind and Music; Shaw’s Vision Continues, Forum Focus: Arts Awareness and Advocacy.